Basil
Это лично твое пожелание?
Это стандарт в топологии, к справке.

Don Reba
В смысле нарисовать окружность на линии - это норма?

Не только. Я хотел сказать что в топологии принято считать размерность сферы размерностью её поверхности. Так, нормальная обьёмная сфера считается двухмерной, а круг, одномерной сферой.

Don Reba
Да принять можно все что угодно - суть не изменится - как было 1D-пространстов линией, так и останется ей.

Basil
Или правильности представления?
Один и тот же объект можно определить разными способами. И обозначить разными обозначениями. Всё это не очень существенно - главное, что бы мы всякий раз понимали о каком именно объекте идёт речь. Именно поэтому я и написал ту "табличку".
Кстати, предложенный мной вариант удобен в том смысле, что сразу понятно какова размерность "существ" его "населяющих". Двухмерные существа населяют 2D пр-ва.

Но ты её, видимо, не внимательно посмотрел.
>>>А вот скажи, какова минимальная рамерность пр-ва в которое можно вложить 3D тор (как он определён в моём случае)?
<<<Если ты хочешь увидеть тор во всей красе, то 3D-пространство.
Потому, что 3D тор в трёхмерное евклидово пр-во вложить нельзя. А так же и в 1D. Потому, что обязательным условием вложения является сохранение топологических и геометрических св-в.
Для примера можно взять объект "попроще": бутылку Клейна - несмотря на то, что эта поверхность двухмерна, её нельзя вложить в 3D пр-во (без потери её св-в).

>>>Собственно, как мне кажется, в этом и проблема - ты не "можешь" думать о сфере в отрыве от нашего пр-ва.
<<<Что это значит?
Не обязательно представлять сферу, как определённую часть 3D пр-ва (мн-во точек равноудалённых от заданной). Это "нехороший" способ, и прежде всего, когда речь идёт об устройстве Вселенной. Я бы даже сказал, что это вредная привычка.
Правильнее представлять сферу как 2D пр-во с определёнными св-вами. И для описания св-в этого пр-ва достаточно только его самого.
Наверное, я это не очень удачно пояснил. Поэтому спрошу: какие св-ва у сферы?

<<<Точнее: может оно и есть, но недоступно нашим экспериментам, а потому его всё равно что нет.
>>>Для меня это не очевидно.
Когда-то давно Лаплас (кажется это был он - никогда не помню фамилии) представлял свою работу "академическому собранию". После его выступления его спросили: "У вас замечательная работа, но почему в ней не упоминается Бог?" (вообще, в те времена было принято в научных работах "ссылаться"). Лаплас ответил: "Я не нуждаюсь в этой гипотезе".
Точно так же, современная физика не нуждается в гипотезе о "внешнем пр-ве".

>>>Интересно, но экспериментально неосуществимо...
<<<Но это ничего не отрицает.
Не отрицает, но пока никому не удалось "вывернуть" перчатку, это лишняя гипотеза.
Вообще, объемлющее пр-во для нашей Вселенной выглядит, по крайней мере, странным.
Смотри, возьмём наше обычное 3D пр-во, выделим в нём некую плоскость и поселим в ней кого-нибудь двухмерного. Оно будет жить в своей плоскости, будучи не в состоянии её покинуть. С нашей трёхмерной точки зрения это будет выглядеть странно: ведь наше пр-во однородно, в нём нет никаких выделенных плоскостей. Почему же те существа не в состоянии покинуть плоскость?

Geen
А вот, если с точки зрения ]"внешнего" трёхмерного существа - есть. Это я и утверждал раньше
А зачем нам привлекать "трёхмерное существо"? Ведь тогда мы уже описываем не свойства сферы самой по себе, а свойства сферы, вложенной в трёхмерное (Евклидово) пр-во. Вот это как раз лишнее - это нам не может помочь разобраться с возможным устройством Космоса.

Я рассуждал о сфере как таковой, без всяких намеков на строение Вселенной.
Если рассуждать так, то граница все-таки будет?(Вопрос так же к Don Reba )

Don Reba
Я не вижу как из первого выходит второе. Поясни пожалуйста.
Если бы у сферы была граница, то через неё можно было бы провести сечение, и оно бы не являлось окружностью, но так как по определению каждое сечение является окружностью, то границы быть не может.
Это теорема какая-то? И что делать, если у нас есть 3D-существо наблюдатель?

P.S. Меня интересует просто сфера, без притензий на строение вселенной.

Geen
Вообще, объемлющее пр-во для нашей Вселенной выглядит, по крайней мере, странным.
Смотри, возьмём наше обычное 3D пр-во, выделим в нём некую плоскость и поселим в ней кого-нибудь двухмерного. Оно будет жить в своей плоскости, будучи не в состоянии её покинуть. С нашей трёхмерной точки зрения это будет выглядеть странно: ведь наше пр-во однородно, в нём нет никаких выделенных плоскостей. Почему же те существа не в состоянии покинуть плоскость?

А если 4D и выше пространства, в которые вложено наше, очень искревлены, так что возможно сущесвовать(жизни) только в 3D?

Geen
Один и тот же объект можно определить разными способами. И обозначить разными обозначениями. Всё это не очень существенно - главное, что бы мы всякий раз понимали о каком именно объекте идёт речь. Именно поэтому я и написал ту "табличку".
Кстати, предложенный мной вариант удобен в том смысле, что сразу понятно какова размерность "существ" его "населяющих". Двухмерные существа населяют 2D пр-ва.
Это все, конечно, интересно, но... Ответь мне на один вопрос - ты согласен, что при "вложении" фигур в 1D-пространство мы получим точки, либо линии?

Если ты хочешь увидеть тор во всей красе, то 3D-пространство.
Потому, что 3D тор в трёхмерное евклидово пр-во вложить нельзя.
Что значит "Потому, что 3D тор в трёхмерное евклидово пр-во вложить нельзя"? Я же не спрашивал, почему... И еще - зачем "вкладывать" тор в 3D-пространство, если сам тор в нем описали?

А так же и в 1D. Потому, что обязательным условием вложения является сохранение топологических и геометрических св-в.
По-моему, мы не оговаривали вопрос о том, что у фигуры при "вложении" должны обязательно сохраниться ее геометрические и топологические св-ва. Мы обсуждаем вопрос, что за фигура получится вообще при "вложении" в такое-то пространство.

Не обязательно представлять сферу, как определённую часть 3D пр-ва (мн-во точек равноудалённых от заданной). Это "нехороший" способ, и прежде всего, когда речь идёт об устройстве Вселенной. Я бы даже сказал, что это вредная привычка.
Чем этот способ "нехорош" и чем "привычка" вредна?

Правильнее представлять сферу как 2D пр-во с определёнными св-вами.
С чего это "правильнее"?! Сферу с ее площадью, равной ЧетыреПиRквадрат описали в 3D-пространстве. Зачем нам извращаться и "представлять сферу как 2D пр-во с определёнными св-вами"? Зачем?!

Точно так же, современная физика не нуждается в гипотезе о "внешнем пр-ве".
Вот с этим я и не собираюсь спорить. Каждому свое.

Вообще, объемлющее пр-во для нашей Вселенной выглядит, по крайней мере, странным
Отсутствие его выглядит еще более странным.

Смотри, возьмём наше обычное 3D пр-во, выделим в нём некую плоскость и поселим в ней кого-нибудь двухмерного. Оно будет жить в своей плоскости, будучи не в состоянии её покинуть.
А откуда это известно? Может быть и в состоянии покинуть, при определенных условиях.

CHUPA
Это теорема какая-то? И что делать, если у нас есть 3D-существо наблюдатель?
Да нет. Доказательство не обращается ни к чему кроме того определения сферы. Под окружностью имеется в виду сфера с меньшей размерностью.

Вселенную со свойствами сферы совсем не сложно представить. Ты всегда можешь двигаться в любом направлении, где бы ты не был, но если ты будешь двигаться всё время вперёд, то через некоторое время придёшь туда откуда вышел. Это безграничность. А конечность выражается в том что если ты возьмёшь и огородишь некоторое пространство, скажем один кубический километр, клеткой, а потом ещё одно рядом с тем, а потом ещё одно, и ещё, то когда нибудь поделишь на клетки всю вселенную. А если будешь ставить клетки одну за другой в одном направлении, то сделаешь кольцо, а если затем построишь ряд клеток перпендикулярный первому, то получишь ещё одно кольцо, и третий ряд, перпендикулярный тему двум тоже даст кольцо - это трёхмерная сфера. Аналогия с обычной (обьёмной) сферой проходит потому что на её поверхности можно построить два таких взаимно перпендикулярных ряда, только не кубов, а квадратов, и по её поверхности тоже всегда можно двигаться в любом направлении в двух измерениях.

Изменено: Don Reba, 16-11-2003 в 21:26

CHUPA
Если рассуждать так, то граница все-таки будет?
В топологии 3D плоскости (см. термины выше) 2D сфера является замкнутым мн-вом без внутренних точек - то есть совпадает со своей границей. Однако, если рассматривать сферу как 2D дифф.многообразие, то границы не будет.
В принципе, рассмотрение сферы (в смысле границ) ничем не отличается от рассмотрения плоскости: 2D плоскость вложенная в 3D плоскость точно так же будет совпадать со своей границей.

А если 4D и выше пространства, в которые вложено наше, очень искревлены, так что возможно сущесвовать(жизни) только в 3D?
Это возможно, но каковы могут физические причины столь сильного искривления?? Я не могу представить себе ничего, хоть сколько-нибудь правдоподобного. Кроме того, о таком пр-ве уже сложно говорить как об "объемлющем" - скорее это уже получится, что наш мир четырёхмерен, но с такой сложной структурой, что вопринимается как трёхмерный.

Basil
Ответь мне на один вопрос - ты согласен, что при "вложении" фигур в 1D-пространство мы получим точки, либо линии?
Это не называется вложением. Это называется проектированием. Вложение подразумевает "построение" "объемлющего" пр-ва.

И еще - зачем "вкладывать" тор в 3D-пространство, если сам тор в нем описали?
Ты опять не внимательно прочитал. Я говорил о 3D торе, то есть о кубе, с отождествлёнными противоположными гранями. Так же как 2D тор - это квадрат с отождествлёнными противоположными рёбрами (и давай именно это будем считать определением тора).

С чего это "правильнее"?! Сферу с ее площадью, равной ЧетыреПиRквадрат описали в 3D-пространстве. Зачем нам извращаться и "представлять сферу как 2D пр-во с определёнными св-вами"? Зачем?!
А чем так это 3D пр-во выделенно??? Сдаётся мне, это чистый антропоцентризм. Лишнее это в математике. К тому же, определи в 3D пр-ве: окружность, лист Мёбиуса, бутылку Клейна.... То что такое определние легко удаётся дать для сферы - чистая случайность и не надо возводить её в принцип.
Кроме того, если можно не пользоваться никакими постронними вещами (как 3D пр-вом), то зачем заставлять ими пользоваться? Тем более, что этот способ применим только в отдельных случаях (именно поэтому это вредная привычка - "интуитивно" полагается, что он применим всегда).
И кроме того, при "моём" способе - вопросов о том куда вложен Космос не возникает (и я могу его описывать ровно настолько, насколько это требуется в нашей жизни). А в "твоём" способе этот вопрос возникает. И вместо того, что бы заниматься изучением мира приходится заниматься философией.

>>>Точно так же, современная физика не нуждается в гипотезе о "внешнем пр-ве".
<<<Вот с этим я и не собираюсь спорить. Каждому свое.
Только помни о "бритве Оккама"

<<<Смотри, возьмём наше обычное 3D пр-во, выделим в нём некую плоскость и поселим в ней кого-нибудь двухмерного. Оно будет жить в своей плоскости, будучи не в состоянии её покинуть.
>>>А откуда это известно? Может быть и в состоянии покинуть, при определенных условиях.
Может быть. Но такие "может быть" ещё не повод изобретать сложные конструкции - проще надо быть, не надо ничего лишнего.

Don Reba
Это теорема какая-то? И что делать, если у нас есть 3D-существо наблюдатель?
Да нет. Доказательство не обращается ни к чему кроме того определения сферы. Под окружностью имеется в виду сфера с меньшей размерностью.
Что-то я так и не понял, как так выходит с точки зрения 3d существа наблюдателя? Помоему очевидно, когда я смотрю на мяч, то границы его четко вижу.
С вселенной построеной на 3d-сфере(в определении Geen'a) все понятно, спасибо.

Geen
Если рассуждать так, то граница все-таки будет?

В топологии 3D плоскости (см. термины выше) 2D сфера является замкнутым мн-вом без внутренних точек - то есть совпадает со своей границей. Однако, если рассматривать сферу как 2D дифф.многообразие, то границы не будет.
В принципе, рассмотрение сферы (в смысле границ) ничем не отличается от рассмотрения плоскости: 2D плоскость вложенная в 3D плоскость точно так же будет совпадать со своей границей.

К сожалению я в топологии несилен(вообще её не изучал), поэтому твои слова понятны смутно. По-русски это значит Да или Нет?

Я правильно понял, фраза ...если рассматривать сферу как 2D дифф.многообразие, то границы не будет означает, что если сфера и есть наше пространство, то у нее нет границы, а если её расматривать как часть пространства(n-мерной плоскости), то она границу имеет и эта граница и есть сферой.

CHUPA
Помоему очевидно, когда я смотрю на мяч, то границы его четко вижу.
Очень мало правильных вещей очевидно. Нет, ты не видишь границы мяча. Ты видишь границу его проекции на сетчатку своих глаз. Ты не можешь видеть обьёмных предметов. Обьём - иллюзия созданная мозгом. Свойства проекции сферы на сетчатке отличаются от свойств самой сферы.

Изменено: Don Reba, 16-11-2003 в 23:50

ну пяздец, господа. почитал я тут, поломал глзки и ушел в транс.

Don Reba
Ну это чистая философия. Мне интересно, что по твоему определению граница, что у сферы(той которую имеют в виду в школьных учебниках) ее нет?

CHUPA
Мне интересно, что по твоему определению граница, что у сферы(той которую имеют в виду в школьных учебниках) ее нет?
Определение безграничности очень простое - ты можешь двигатся из любой точки в любом направлении. В одномерной сфере - круге, ты можешь двигаться вперёд или назад из любой точки. В двухмерной сфере можно двигатся вперёд назад, вправо или влево, где бы ты не находился (как всегда, разговор идёт только о поверхности). В трёхмерной сфере всегда можно двигаться вперёд, назад, вправо, влево, вних или вверх из любой точки. Это безграничность. Конечность проявляется в том что пространство можно поделить на конечное число кубиков, как поверхность мяча можно поделить на конечное число квадратов, и как окружность можно поделить на конечное число отрезков.

Кстати, на английском оф. форуме дали ссылку к обьяснению теории нитей с самых основ.
http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/program.html
Очень интересно, но знание английского обязательно.

Изменено: Don Reba, 17-11-2003 в 07:16

Don Reba В ноябрьском номере популярной механики очень подробно все описали, и про нити, и про браны... Да и вобще очень интерестный журнальчик...(на правах рекламы )

Don Reba
ты можешь двигатся из любой точки в любом направлении
Можешь. Но под ноги посмотри! Двигаешься ты уже по границе м/у поверхностью сферы и другим пространством.
Мы же не говорим о границе на поверхности сферы, мы говорим о границе, которая создана самой поверхностью сферы. Вот и возникает вопрос - в каком пространстве находится эта сфера?

Geen
Ответь мне на один вопрос - ты согласен, что при "вложении" фигур в 1D-пространство мы получим точки, либо линии?
Это не называется вложением. Это называется проектированием.
Это еще откуда?! Сслыку сразу давай, чтобы эти слова не считались голословными! Откуда ты взял определение понятия "вложение"?

Вложение подразумевает "построение" "объемлющего" пр-ва.
Что это значит?! Мы оговарили уже, что "вкладываем" фигуры в 1D-пространство. 1D-пространство - это прямая. С чего нам придумывать еще какое-то объемлющее пространство?

И теперь ответь все-таки на вопрос:
ты согласен, что при "вложении" фигур в 1D-пространство мы получим точки, либо линии?
Здесь можно ответить, либо "да". Либо "нет" с обоснованием, почему...

Ответишь - дальше пойдем.

Только помни о "бритве Оккама"
"Бритва Оккама" - ничто иное как очередное "пожелание" человека. Суть мироздания от этого не изменится.

Может быть. Но такие "может быть" ещё не повод изобретать сложные конструкции - проще надо быть, не надо ничего лишнего.
Я и сам знаю, что для науки не надо ничего лишнего. Суть мироз... ну, ты в курсе.

Basil
Можешь. Но под ноги посмотри!
В 2Д нет понятия "под". И хоть из какого измерения смотри на двухмерное существо, для него всё равно не будет такого понятия.

Don Reba
Мы про 3D-пространство речь ведем. И если 4D-существо на нас посмотрит, то для нас останутся все направления, которые справедливы в 3D-пространстве.

Четвёртого измерения пространства нет, а если бы было, то вселенную нужно было бы описывать четырёхмерной сферой.

А вопрос (в каком пространстве находится эта сфера?) касается не размерности пространства, а где эта сфера находится в своем же 3D-пространстве.

Don Reba
четвёртого измерения пространства нет
Мы этого не знаем наверняка.

edit: Хитрый Don Reba!

Изменено: Basil, 17-11-2003 в 12:22

Очень даже знаем. Построй три взаимно перпендикулярные прямые, а затем ещё одну, перпендикулярную всем трём. Если получится, то ты докажешь существование четвёртого измерения пространства.

CHUPA
Я правильно понял, фраза ...если рассматривать сферу как 2D дифф.многообразие, то границы не будет означает, что если сфера и есть наше пространство, то у нее нет границы, а если её расматривать как часть пространства(n-мерной плоскости), то она границу имеет и эта граница и есть сферой.
Как мне кажется, ты понял именно то, что я пытался объяснить . Только хочу ещё раз напомнить, что те же самые рассуждения (высказывания) применимы и к плоскости.

Помоему очевидно, когда я смотрю на мяч, то границы его четко вижу.
Мяч - это не сфера, мяч - это шар!

К сожалению я в топологии несилен(вообще её не изучал), поэтому твои слова понятны смутно.
Чуть ранее я начинал описывать, что такое топологическое пр-во. Поскольку этот вопрос достаточно большой, и его не рассказать ни в одном посте, ни в десяти, я сделал "паузу" что бы была возможность задать вопросы (и тем самым двигаться по-порядку).

Basil
<<<ты можешь двигатся из любой точки в любом направлении
>>>Можешь. Но под ноги посмотри! Двигаешься ты уже по границе м/у поверхностью сферы и другим пространством.
Мы же не говорим о границе на поверхности сферы, мы говорим о границе, которая создана самой поверхностью сферы. Вот и возникает вопрос - в каком пространстве находится эта сфера?
Скажи мне куда провести четвёртую прямую, перпендикулярную всем рёбрам куба сразу?? Для нас, 3D существ, это .... только "математический" вопрос. Я думаю, мало кто может представить себе четыре взаимноперпендикулярные прямые.
Точно так же, 2D существо не в состоянии указать куда надо проводить третью прямую! Для этих существ понятия "вниз/вверх" не существуют (так же как у нас нет понятий для четвёртого направления).

Это еще откуда?! Сслыку сразу давай, чтобы эти слова не считались голословными! Откуда ты взял определение понятия "вложение"?
Есть много учебников, называющихся: "Общая топология", "Дифференциальная геометрия", "Дифференцируемые многообразия" (возможны небольшие вариации названий). Почти в каждом есть определение понятий "вложение", "проектирование" и т.д.

Что это значит?! Мы оговарили уже, что "вкладываем" фигуры в 1D-пространство. 1D-пространство - это прямая. С чего нам придумывать еще какое-то объемлющее пространство?
Если пр-во A вложено в пр-во B, то A как минимум должно быть подмножеством B. Может ли квадрат быть подмножеством прямой?
(Этот пункт не претендует на математическую точность, иначе он стал бы очень длинным.)

ты согласен, что при "вложении" фигур в 1D-пространство мы получим точки, либо линии?
Здесь можно ответить, либо "да". Либо "нет" с обоснованием, почему...
Этот вопрос прямо как у Карлсона: "ты перестал пить по утрам коньяк?"
Фигуру нельзя вложить в 1D пр-во по определению.
Если ты говоришь о проектировании, то да - получаться отрезки.
И я настаиваю на разделении этих двух терминов: у соответствующих операций очень разные св-ва.

"Бритва Оккама" - ничто иное как очередное "пожелание" человека. Суть мироздания от этого не изменится.
Совершенно верно. Просто есть люди (многие учёные), которые следуют этому принципу и экономят тем самым своё время и время других (его и так мало )....
Но вопрос был ведь немного о другом: можно ли считать, что наше пр-во "кривое", но при этом не задаваться вопросом куда оно вложено?
Математически и физически (на данном уровне развития) точный ответ: да, можно!!
Если кого-то с "философской" точки зрения этот ответ не устраивает, он может построить свою собственную физическую теорию. Но именно теорию - не надо ограничиваться "общими" рассуждениями.